[MSG] 실력을 키우려면 생각을 해야 함
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상담하면서, 수업하면서 안타까운 경우가
1-1.
몇몇 학생들은 깊게, 오래 생각하는 것 자체를 싫어함. 개념에 대한 부분이든 문제 풀이에 대한 부분이든 조금만 생소한 게 나오면 쉽게 포기함. 이렇게 해서는 발전이 있을 수가 없음.
1-2.
1-1에 속하는 학생들 중 몇몇은 ‘생각하는 방법’을 알려줘도 실천하지 않음. 스스로 생각하고 고민해본 적이 없어서 습관이 되어있지 않아 익숙지 않을 수 있고, 그걸 도와주는 게 내 역할임. 그런데 알려줘도 할 생각이 없으면 뭘 어쩌라는 건지 모르겠음. 이는 ‘성적 잘 받을 생각이 없음’과 이어가 아닌 것으로 보임.
1-3.
1-1에 속하지 않는 학생들조차, 상당수가 논리적으로 생각하는 방법을 익히기보다는 완성된 무언가를 떠먹는 걸 좋아함. 스스로 생각하고 고민하는 시간이 충분하지 않으면 실력의 비약을 겪기가 상당히 힘듦.
2-1.
몇몇 학생들은 문제 풀이의 스킬에 과하게 집착함. 문제를 풀 때 ‘적절한’ 스킬이 필요한 건 맞지만, 주객이 전도되어 왜 그렇게 푸는지도 이해하지 못한 채 스킬에만 급급하면, 실전에서 생전 처음 보는 점수를 받을 수도 있음.
2-2.
대부분의 학생들이 본질을 호도하고 정도(正道)를 소홀히 함. 예를 들어, 닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 함수 f(x)에 대하여 곡선 y=f(x)와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 영역의 넓이를 구할 때, 일반적으로 ‘어떤 함수를 미분하면 f(x)가 되는지’를 구하는데, 이걸 왜 구하냐고 물으면 대답을 못함.
“저는 목표가 3등급입니다.”라고 진지하게 말할 수 있으면 굳이 정도를 강요하지는 않음. 하지만 1등급 혹은 만점이 목표라면서 정도를 걸으려 하지 않는다면 어불성설임. 급하게 쌓아올린 모래성은 파도에 쉽게 무너질 수밖에 없음.
저로서는 흔치 않게 음슴체로 썼습니다. 스스로 생각하고 고민하는 것을 꺼려하지는 않는지, 떠먹여 주는 것만 좋아하지는 않는지, 지나치게 스킬에만 집착하지는 않는지, 모래성을 쌓고 있는 건 아닌지 잘 생각해보시길 바랍니다.
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1-1, 1-2 에 속하는 학생들이
목표는 높던가요?
안타깝게도, 제 학생들 중에 목표가 3등급 이하인 학생은 한 명도 없습니다.
2-2답이 정적분으로 된 함수의 도함수가 f니깐 정적분으로 된 함수는 부정적분된 함수 중 하나-->부정적분값은 다른 부정적분값+적분상수로 표현가능하니깐 부정적분한 함수를 통해 정적분한 함수값을 구한다. 요거인가요??
음... 우선 조금 거칠게 물어볼게요.
1. 화살표 이전의 내용은 왜 그런가요?
2. 화살표 이후의 내용은 왜 그런가요?
1.이부분은 잘 이해하지 못했습니다. 제가 아는 내용은 x에서 x+h까지의 넓이(S)는 정적분의 성질을 통해 F (x+h)-F (x)(여기선 표기상의 편의를 위해 정적분 기호 대신 F라고 했습니다. 부정적분이라고 인정한것은 아닙니다. ) 꼴로 표현가능하며 이때 x~x+h구간 사이는 최대최소 정리에 의해 최댓값과 최솟값이 존재하며 m*h <=S <=M*h 이며 h->0으로 보낼때 lim m=lim M=f (x) 로 수렴하므로 lim F (x+h)-F (x)/h=f (x) 이다.라고 대부분의 책에 서술되어 있던데 이때 이 논리를 통해 만약 a부터 2x까지 f를 정적분한 함수의 도함수가
2f (2x)임을 저는 증명할수 없었기 때문에 이해하고 있는것 같지는 않습니다
2.구간[a,b]에서 연속,(a,b)에서 미분가능한 두개의 특정한 서로다른 부정적분함수를 F,G라고 했을때 둘의 도함수를 (연속,미가)f (x),g (x)라 하고, H (x)=F-G라고 하겠습니다.
f (x)=g(x) 이며(부정적분의 정의) h (x)=f (x)-g (x)=0꼴의 빼기함수로 표현 할 수 있으며 이때 H의 도함수 h가 구간 (a,b)에서 0일때 H (x)는 상수함수 H (x)=c의 꼴로 표현이 됩니다. 이때 F (x)=G (x)+c로도 표현이 가능하며 이를 통해 도함수가 같은 함수들은 실수의 합으로 서로를 표현가능함을 알 수 있었습니다.
이제 함수 r이 어느 구간에서 연속이라고 했을때 이 함수의 a~x까지의 정적분하면 값을 R(x)+c 라고 표현 할 수 있으며(R은 부정적분한 함수 중 하나) x가 a일때 R (a)+c, 즉 r의 정적분함수는 R (x)-R (a)로 표현가능하다.라고 이해하고 있었습니다.
얼추 잘 알고 계신데, 쉽게 말해서,
화살표 이전의 내용은 제1 기본정리,
화살표 이후의 내용은 제2 기본정리입니다.
정확하게 알고 있으면 더 좋겠지만 굳이 구분을 지을 필요는 없고, 말씀하신 내용에 조금만 딴지를 걸자면...
“H의 도함수 h가 구간 (a,b)에서 0일때 H (x)는 상수함수 H(x)=c의 꼴로 표현이 됩니다.”라고 하셨는데, 이건 왜 그런가요?
음... 최대최소 정리랑 평균값정리를 이용해서 상수함수임을 증명해야 할 것 같은데 엄밀한 방법인지는 잘 모르겠네요.. 선생님께선 이런식으로 계속해서 스스로 탐구하면서 공부해야 된다는 말씀이시군요.! 앞으로 그런방향으로 노력해보겠습니다.
맛소금
근데 이건 비단 수학뿐만 아니라 모든과목 다 마찬가지인거같습니다 ㄹㅇ
20추
ㅇㅇ 수학에 있어서
항상 가장 중요한 문제인 것같아요 생각하는 연습
수학을 푼다는 것 자체가
주어진 조건 들을 연결하여
큰 그림의 잡은 후 목적 값 까지 이어나갈 수있도록
방향을 볼 수 있는 훈련이 되어야 하는데
남이 풀어준 풀이에 단순 계산 만 연습하게 된 후
수학을 공부했다고 착각 하기 쉽고
노력해도 일정 위치 이상 올라가지 못하는 경우가 많아요
항상 원리 와 생각을 단련
풀이의 큰 그림. 방향을 보는 형태로 연습해야
발전 가능한 오답 복기가 될 수 있고
요령이 필요 없는 것은 아니지만
요령 자체로서 배우는 것이 아니라
원리 와 발상을 단련함에 의해 자연스럽게 요령이 습득되는게
가장 이상적인 형태라고 생각해요
애시당초 수학이란 학문 자체가 두뇌를 자극해 훈련하기 위해 고안된 도구이고
마치 수학 문제는 헬스장에 바벨. 덤벨. 친업 같은거
공감 가는 글이어서
남에 글에 긴 댓 고멘 .. ㅇ ㅅ
댓글 또한 많이 공감이 가는 내용입니다.
그나저나, 15-16학년도 시절보다 많이 젊어지셨(?)네요ㅎㅎ
행님 추천 박고 갑니다 입금 기대하겠슴돠
msg님 작년에 나형 모의고사 잘 풀었습니다 ㅎㅎ
감사합니다 :)
ㄹㅇ 국수영 다 해당되는 얘기 제발 ㅠㅠ 생각.
올해도 msg 나오겠죠?
그렇게 하는데 한 지문당 또는 수학 한 문제당 몇개월동안 변함없이 많은 시간이 걸린다면 어떻게 해야 되나요?