한석원 모의고사 1권 질문

해설강의. 들으시지::

첫번째는 애바아닌가여 기출보다. 쉽게한건데

제가 공간도형을 못해요;;ㅎ
한회에 1문제 정도인데 해설강의 듣기는 좀..
여기분들 잘하시니까요ㅎ

첫번째꺼- BC 중점 N이라 하고, N의 평면으로의 정사영을 N'이라 합니다. MN이랑 AB는 평행. 따라서 MN은 alpha하고도 평행하고 당연히 MN, M'N'은 평행하고 길이도 같음. (길이는 2root3) N'이 정삼각형M'BC'의 한 변BC'의 중점이므로, M'N'은 BC'과 수직. 따라서 AB와 BC'도 수직이고, 삼수선 정리에 의해 AB,BC도 수직. 따라서 CC' 은 4root2. (피타고라스) MM'은 2root2. M에서 BC'에 내린 수선의 발은 N'이므로 MN' ^2 = (2root2)^2 +(2root3)^2 = 20. 삼각형MBC' 넓이는 0.5*4*2root5 = 4root5. S^2 = 80

두번째꺼- OP=OQ=root3 쉽게 나오고, OPQ 이등변삼각형이니까, PQ의 중점 H라고 하면, 벡터OP+벡터OQ=2*벡터OH.
따라서, OH의 길이만 알면 된다. 이를 위해 PQ의 길이만 알면됌. PQ의 길이를 알기 위해, P에서 선분OC에 수선의 발을 내린 점을 K라고 하면, PK= root3 /2. PQ^2 = PK^2 +QK^2 = 3/2. 따라서 PQ = root6 /2. 이로부터 OH = (root3)^2 - (root6 /4)^2 = root(21/8). 따라서 벡OP+벡OQ 길이는 root(21/2). 답은 10* 21/2 = 105.

세번째꺼- OP 내적 OQ에서 OQ는 고정된 길이 1. 따라서 OP의 OQ 위로의 정사영의 길이의 최댓값을 알면 끝난다. 즉, 문제에 주어진 원의 x좌표의 최댓값을 알면 답이다. (OQ가 x축방향이므로)
평면의 법선벡터(1,2,2)와 수직이고 길이 3root2인 벡터를 (a,b,c)라 하면, 원의 자취는 (2+a,4+b,4+c)이다.
즉, a+2b+2c=0 이고, a^2 +b^2 +c^2 = 18일 때, 2+a의 최댓값 찾는 문제.
c소거하면, 8b^2 +4ab +5a^2 -72=0. 판별식조건에서 4a^2 -40a^2 +72*8 >=0. 따라서 a<=4. 2+a의 최댓값은 6.

혹은 직관적으로 풀려면, 벡터(2,4,4)를 x방향 성분과, x축 수직 방향 성분으로 나누면 각각 2, 4root2.
원의 중심에서 원 위의 점에 이르는 벡터가 x축으로 가장 멀리갈 때는, x축 성분과 x축 수직 성분 비가 4root2 : 2일 때이다. (머리 속으로 떠올려보세요)
따라서 세변의 길이의 비가 1: 2root2 : 3 인 직각삼각형 생각하면 2root2 : 3 = k : 3root2 --> k = 4.
답은 2+4=6.

와! 설명 진짜 잘하시네요ㅎ
3번 첫번째 설명보고 많이 배워갑니다
여기 물어보길 잘한듯ㅋ