재미없는 사실
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Compact closed orientable surface들을 한 번 생각해 보자.
surface classification을 생각하면, 이런 것들은 S^2이거나 torus n개의 connected sum뿐이다.
그런데 Gauss-bonnet theorem에 따르면, S^2위에 어떤 metric을 주더라도 Gauss curvature의 적분 값, 즉 Euler characteristic이 양수이므로, 다시 말해 어떤 지점에서는 반드시 Gauss curvature가 strictly positive여야 한다.
Torus의 경우 Euler characteristic이 0이므로, 모든 지점에서 Gauss curvature가 양수이거나, 또는 음수일 수는 없고, 반드시 0이 되는 어떤 지점이 존재한다.
같은 방식으로, n>1일 때 connected sum의 Euler characteristic이 음수이므로, Gauss curvature는 모든 점에서 nonnegative일 수는 없고, 어떤 지점에서는 반드시 strictly negative여야 한다.
따라서, 곡면 S 위의 실함수 f가 어떤 metric의 Gauss curvature이려면, 적어도
i) 어떤 지점에서는 반드시 양수이거나
ii) 어떤 지점에서는 반드시 0이거나
iii) 어떤 지점에서는 반드시 음수이거나
… 또는 기타 등등의 조건들을 주어진 곡면에 따라 만족해야 함을 알 수 있다.
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