[박수칠] 적분 기호 ∫의 이해

미통기 ‘다항함수의 적분법’과 적통 ‘적분법’으로 들어가면 ∫(integral)을 배웁니다.

이미 알고들 있다시피 부정적분과 정적분의 표현에 사용되는 기호이고,

합을 의미하는 Sum의 머릿글자 S를 변형한 것이죠.

∫>

부정적분의 ∫은 도함수의 기호 d/dx와 정반대의 의미를 갖습니다.

dx와 짝을 이뤄서 ∫ dx의 형태로 사용되구요.

함수 F(x)의 도함수가 f(x)이면

라고 쓰며, 이때 f(x)의 임의의 부정적분이 F(x)+C이므로 

와 같이 씁니다.

보다시피 부정적분에서 ∫은 합이라는 본래의 뜻과 무관하게 쓰였습니다.

합이라는 의미를 갖는 것은 정적분에서죠.

∫>

정적분의 정의는 함수의 그래프와 x축 사이의 넓이를 구하는 것에서 출발합니다.

함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고, 이 구간에서 f(x)≥0일 때

함수의 그래프와 x축, x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S는 다음과 같이

구할 수 있습니다.

(1) x축 위의 구간 [a, b]를 n등분한 다음, 양 끝점과 각 분점의 x좌표를 왼쪽에서부터

 차례로 x₀(=a), x1, x2, …, x_n(=b)이라고 합니다. 다음으로 각 분점을 지나면서 x축에

 수직인 직선들로 도형을 자르고 이웃한 두 수선 가운데 오른쪽 수선을 높이로 하는 직사각형을

 만듭니다.

(2) 이때 왼쪽에서 k번째 직사각형의 넓이와 모든 직사각형의 넓이 합은 다음과 같이

표현됩니다.

(3) 여기서 n→∞이면 구간 [a, b]에 존재하는 분점이 무수히 많아지기 때문에

 각 분점의 x좌표들은 연속적으로 변하는 실수가 된다고 할 수 있습니다.

 따라서 각 분점의 x좌표의 일반항 x_k는 이 구간에 속하는 임의의 실수 x로 바꿀 수 있죠.

 또한 직사각형의 가로 길이 는 0에 한없이 가까워지기 때문에 도함수의 기호와 같이

 dx로 바뀝니다. 이때, 각 직사각형의 넓이는 다음과 같이 표현됩니다.

(4) (2)에서는 직사각형의 넓이가 k에 대한 식으로 표현되기 때문에 직사각형들의

 넓이 합을 Σ로 표현할 수 있지만, (3)에서는 k가 없어졌기 때문에 Σ로 이들을

 더하는 것은 불가능합니다.

 따라서 직사각형의 넓이를 더하기 위해 새로운 기호가 필요한데 그것이 바로 ∫입니다.

 x좌표가 x인 곳에 생긴 직사각형의 넓이 f(x)dx를 x=a일 때부터 x=b일 때까지 더하는

 것은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

이처럼 Σ는 불연속적으로 변하는 직사각형의 넓이 의 합,

∫은 연속적으로 변하는 직사각형의 넓이 f(x)dx의 합을 표현합니다.

(부정적분에 ∫이 쓰인 이유는 정적분의 기본 정리에 따라 정적분의 계산에

부정적분이 필요하기 때문입니다.)

이렇게 이해하면 좌표축과 도형 사이의 넓이, 또는 도형의 부피를

정적분으로 간단하게 표현할 수 있죠.

<두 곡선 사이의 넓이>

두 함수 y=f(x), y=g(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고, f(x)≥g(x)일 때

두 함수의 그래프와 x축, x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S는 다음과 같이

구할 수 있습니다.

(1) x축 위의 구간 [a, b]를 n등분하고,

 각각의 분점에서 x축에 수직인 방향으로 수선을 그어서 도형을 자릅니다.

 그리고 왼쪽에서 k번째 구간 [x_k-1, x_k]에 직사각형을 그리구요.

 이 직사각형의 가로 길이는 , 세로 길이는 f(x_k)-g(x_k)입니다.

(2) n→∞이면 (1)에서 만든 직사각형의 가로 길이 는 한없이 0에 가까워지면서

 dx가 됩니다. 또한 구간의 오른쪽 끝 x_k를 x로 바꾸면 직사각형의 높이는

 f(x)-g(x)가 됩니다.

(3) 따라서 도형의 넓이 S는 다음과 같이 계산됩니다.

<단면적을 아는 입체도형의 부피>

아래 그림과 같이 점 (x, 0, 0)에서 x축에 수직인 평면으로 잘랐을 때,

단면적이 S(x)인 입체도형이 있다면, 그 부피 V는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

(1) x축 위의 구간 [a, b]를 n등분하고,

 각각의 분점에서 x축에 수직인 평면으로 도형을 자릅니다.

 그리고 왼쪽에서 k번째 구간 [x_k-1, x_k]에서 평면 x=x_k로 잘린 단면을 밑면으로 하는

 기둥을 그리구요. 이 기둥의 높이는 , 단면적은 S(x_k)입니다.

(2) n→∞이면 (1)에서 만든 기둥의 높이 는 한없이 0에 가까워지면서

 dx가 됩니다. 또한 구간의 오른쪽 끝 x_k를 x로 바꾸면 단면적은 S(x)가 됩니다.

(3) 따라서 도형의 부피 V는 다음과 같이 계산됩니다.

그럼 예제 하나 풀어보죠.

2014학년도 수능 B형 13번 문제입니다.

(1) 먼저 부피를 구하려는 회전체를 그림으로 표현하면 다음과 같습니다.

  직선 l과 쌍곡선 C의 방정식을 연립해서 풀면 교점의 좌표는 (0, 0), (3, 2)가 되구요.

(2) 회전체의 바깥면은 직선 l이 회전해서 만듭니다.

 이 회전체의 부피는 다음과 같이 구할 수 있죠.

(3) 회전체의 안쪽면은 쌍곡선 C가 회전해서 만들고,

 부피는 다음과 같습니다.

(4) 따라서 구하는 회전체의 부피는 (2)-(3)으로 구할 수 있죠.