(수학) 거의 모든 고난도 문제에 적용 가능한 치트키 공개!!!

안녕하세요. 오르비에 첫 글로

                  한 번 배우면 거의 모든 고난도 문제에 적용 가능한 치트키!!

에 대해 포스팅 하겠습니다. 천천히 읽어보면 누구나 이해할 수 있는 쉬운 내용이지만, 중고등학교뿐 아니라 대학교 수학에서도 먹히는 아주 강력한 방법이니 꼭 읽어보세요.  




 예를 들어 볼까요? 아래의 예제에 즉각 답해보세요. 틀려도 괜찮으니 생각하지 말고, 계산도 하지 말고 떠오르는 데로 답하시면 됩니다. 

 어떤 수가 더 큰지 답하셨다면 아래의 [예제2]로 가보겠습니다.

 위의 예제는 `수학I`의 아주 기초적인 예제입니다. 한 번 공부한 학생이라면 누구나 쉽게 풀 수 있는 문제지만, 수업 시간에 `[예제1]에 주어진 두 수 중에서 어떤 수가 더 큰지` 물어보고 즉각 답을 하라고 하면 아이들 의견이 반반으로 나뉘곤 합니다. 뿐만 아니라, 답에 대해 확신도 하지 못하는 경우가 대부분입니다. 

 하지만 [예제2]와 같이 식을 변형해 주면 모든 학생이 확신을 가지고 답을 합니다. 왜 그럴까요? 

 대부분 학생들은 

         "[예제1]과 같은 문제는 지수를 통일하는 방법으로 푼다."

는 식으로 `문제를 유형화`합니다. 하지만 이는 잘못된 공부법입니다. 그럼 어떻게 공부해야 할까요?

 우리는 문제를 유형화하는 대신

            "[예제1]은 어렵고, [예제2]는 쉬운 이유는 무엇인가?"

와 같이 "둘 사이의 근본적인 차이"에 대해 생각해야 합니다. 

 위 질문에 답한 후에 아래의 본문을 보도록 합시다. 

 다행히도 위의 질문에 학습 성취도가 높지 않은 학생들도 "[예제1]에 주어진 두 수는 밑과 지수가 모두 다르지만 [예제2]에서는 지수는 같고 밑만 다르기 때문에 더 쉽다"고 정확하게 답을 합니다. 뿐만 아니라, 밑이나 지수라는 용어를 모르는 초등학생도 [예제1]과 [예제2]의 차이에 대해 물으면 거의 대부분 정확히 답을 잘 합니다. 

 여기에서 본질은 밑이나 지수라는 용어에 있는 것이 아니라 

1. `두 가지 요소가 모두 다른 것'은 비교하기 어렵다.

2. '한 가지 요소는 같고, 한 가지 요소만 다른 것'은 비교하기 쉽다.

는 것입니다.

이를 조금 더 일반화하면

                       "여러 가지를 동시에? 어려우면 하나씩!!"

과 같이  `거의 모든 고난도 문제에 적용 가능한 치트키`, 문제 해결의 `핵심 아이디어' 얻을 수 있습니다. 

 

이처럼 간단한 전략이 정말로 거의 모든 문제에 적용 가능할까요? 예를 더 살펴보도록 합시다. 

  [풀이]에 대해 생각해 본 후에 아래의 해설을 보도록 합시다. (대부분의 오르비 학생들은 풀이를 알고 있겠지만, "여러 가지를 동시에? 어려우면 하나씩!!" 의 관점에서 생각해 봅시다.)

 [해설] 논리적인 생각의 흐름을 정리하면 아래와 같습니다.

[step1]. k의 값을 정하라 = 직선을 결정하라 

[step2]. 따라서 직선의 결정 조건인 `한 점'과 '기울기`를 생각해 볼 수 있다.

[step3]. k의 값이 변하면 직선이 지나는 점과 기울기가 모두 변한다. 두 가지가 모두 변하면? 어렵다. 

[step4]. 어려우면? 하나씩!

[step5]. 

1) k의 값에 관계없이 지나는 한 점이 있는가?  YES, 주어진 직선은 k의 값에 관계없이 (-1, -1)을 지난다.

2) k의 값에 관계없이 기울기가 일정한가? No. k가 기울기 그 자체이므로

[step6] (-1, -1)을 중심으로 기울기를 변화시켜 가면서 직선이 선분과 만날 조건을 구한다.

 이에 따른 풀이와 정답은 아래와 같습니다. 

[예제1]은 고2 과정 지수에 대한 문제이고 [예제3]는 고1 과정 직선의 방정식에 대한 문제로 문제와 그 풀이를 유형화하는 방식으로 공부한 학생들에게는 완전히 다른 별개의 문제지만, [예제1]에서 핵심적인 아이디어를 제대로 공부한 학생이라면

                       "여러 가지를 동시에? 어려우면 하나씩!!"

를 적용하여  [예제3]도 쉽게 풀 수 있음을 알 수 있습니다.

이번에는 `EBS 수능 특강`의 LEVEL 3 (실력 완성) 고난도 실전 문제에도 이 '핵심 아이디어'가 적용 가능한지 알아봅시다!

 [풀이]에 대해 생각해 본 후에 아래의 해설을 보도록 합시다. 

(여기에서는 이 문항에 대한 자세한 해설을 쓰는 것이 목적이 아니므로, 간략하게 분석만 하도록 하겠습니다.) 

문제의 풀이는 정규분포에 대한 전반적인 지식이 있어야 이해가 가능합니다. 해당 과정을 공부하는 학생 또는 선생님이 아닌 경우, 풀이보다는 핵심 아이디어를 어떻게 적용하는지에 초점을 맞추고 보시면 좋을 것 같습니다. 

[해설] 먼저 조건 (가)를 살펴보겠습니다. 조건 (가)에는 `P, X, 부등호, 숫자` 이렇게 네 가지 요소가 있는데, 이 중 `부등호와 숫자` 이 두 가지가 서로 다름을 알 수 있습니다. 서로 다른 두 가지 요소가 있어서 어렵다면? 하나를 같게 하면 됩니다. 마치 [예제1]의 풀이처럼!

 디테일은 아래와 같습니다. (정규 분포에 대해 공부 중이 아니라면 아이디어를 어떻게 적용하는지만 보세요!)

 그럼 이제 조건 (나)를 볼까요? 조건 (나)에는 `P, 분포(X, bar{X}), 부등호, 숫자`의 네 가지 중 세 가지 요소가 모두 다릅니다. 마찬가지로 하나씩 같게 만들면 되겠죠? 분포가 다르면 비교 자체가 어려우므로 먼저 분포를 같게 한 후에, 조건 (가)에서처럼 부등호 방향을 같게 하면 됩니다. 

 디테일은 아래와 같습니다. (정규 분포에 대해 공부 중이 아니라면 아이디어를 어떻게 적용하는지만 보세요!) 

(참고. 표준편차(sigma)의 값은 문제에서 조건 (가), (나) 아래에 확률이 0.1587이라는 조건으로부터 쉽게 구할 수 있습니다.)

 방금 살펴 본 EBS 수능특강의 문항은 상위권 학생들도 어려워하는 고난도 문항이지만, 앞서 살펴 본 `핵심 아이디어`를 적용하면 그리 어렵지 않게, 논리적으로 해결이 가능합니다. 실제로 수업에서도 학생들이 이 문제를 질문하는 경우가 꽤 있었는데, 제가 일방적으로 풀이를 알려주지 않고

                      "여러 가지 동시에? 어려우면 하나씩!"

이라고 귀띔만 해주어도 학생들 스스로 해결하는 경우가 대부분이었습니다. (상위권 학생 중에서 간단한 것을 하나만 다루는데 어려워 하는 경우가 있을까요? 아마 없을 것입니다. 학생들이 어려워 하는 경우는 대부분 `여러 가지를 동시에` 다루거나 `복잡한 것`을 다루는 경우입니다. 전자는 `한 번에 하나씩`, 후자는 `복잡한 것을 간단하게 변형`하는 것에 초점을 맞추면 간단하게 해결이 됩니다. 고난도 문제는 이 두 가지 경우 중 하나에 해당하는 것이 대부분이기 때문에, 이 두 가지 전략은 거의 모든 고난도 문제에 적용 가능한 치트키로 잘 작동합니다. )

 지금까지 세 가지 예를 통해, `거의 모든 고난도 문제에 적용 가능한 치트키`에 대해서 알아보았습니다.

문제와 그 풀이를 유형화하는 방식으로 공부하는 학생들에게 [예제1], [예제3], `수능특강의 고난도 문항`은 서로 전혀 다른 별개의 문제일 것입니다. 따라서 모든 문제를 커버하려면 매우 많은 문제를 풀고 외워야 하겠죠? 

 하지만 (문제와 그 풀이를 유형화하는 대신) 배운 것에 근거하여 문제를 분석하고, 논리적으로 사고하여 문제를 해결함으로써, 문제 해결에 쓰이는 `핵심 아이디어`까지 공부한 학생들에게는 [예제1], [예제3], `수능특강의 고난도 문항`을 유사한 문항으로 생각할 수도 있습니다. 이런 학생들에게는 해당 단원의 내용만 잘 정리해주면, 제가 예제를 따로 많이 풀어주지 않아도 스스로 고난도 문제까지도 척척 해결합니다.

 블로그에서도, 수업에서도, 전자책 <수학의 비밀>에서도 효율적이고 효과적인 공부 방법의 중요성을 늘 강조합니다. 중등 수학과는 다르게 고등 수학의 유형에는 끝이 없기 때문에 문제와 그 풀이를 유형화하는 방식으로 공부한다면 안정적으로 고득점하기도 어려울 뿐 아니라, 그 과정 또한 매우 고통스러울 가능성이 높습니다. 그저 열심히 공부하는 것은 시간 낭비입니다.

 [예제1]을 풀지 못해 답지를 보았을 때, "이 문제는 지수를 통일해서 푸는구나!"와 같이 유형화하는 학생과 "왜 지수를 같게 하지? 지수를 같게 하면 쉽게 풀리는 이유가 뭘까?"와 같이, 풀이가 아닌 근본적인 이유에 대해 고민하고, 이를 통해 "여러 가지를 동시에? 어려우면 하나씩!"이라는 `핵심 아이디어`를 찾아내는 학생의 실력은 시간이 지남에 따라 천지 차이가 될 것입니다.

    저는 학생들이 그저 열심히 공부하며 시간 낭비를 하지 않길 바랍니다.

공부 방법을 바꾸면 훨씬 더 재미있고 효과적으로 공부할 수 있다고 생각합니다. 효과적인 공부 방법에 대한 전자책 링크를 끝으로 오늘 포스팅을 마치도록 할게요. 다음에 또 만나요 :)




[링크1] 효과적인 공부 방법에 대한 전자책 "서울대 박사가 알려주는 수학의 비밀 - 첫 번째 비밀 : 집합"의 링크
: https://docs.orbi.kr/docs/10846

[링크2] 효과적인 공부 방법에 대한 전자책 "서울대 박사가 알려주는 수학의 비밀 - 두 번째 비밀 : 명제"의 링크
: https://docs.orbi.kr/docs/10847

[링크3] 본 포스팅은 저의 블로그의 포스팅 "https://blog.naver.com/math-fish/222923048780"의 내용을 재정리한 것입니다. 

PS1. 위의 전자책에서는 본 포스팅과 마찬가지로 "특정 문제에만 적용 가능한 테크닉"이 아닌 모든 단원과 문제에 적용 가능한 구체적이고 실전적인 공부 방법을 제시하고, 실전 문제(내신, 수능, 논술, 면접의 기출 문항 등)를 통해 즉각 적용할 수 있도록 합니다.  

PS2. 저는 교사 출신(하나고, 서울과학고)의 서울대학교 이학 박사(Ph.D. in Mathematics)입니다. 오르비에 가입한지 얼마 되지 않았지만~ 오르비엔 저의 제자들도 많이 활동하고 있을 것 같네요. 기회가 된다면 앞으로도 종종 포스팅을 하도록 하겠습니다. 감사합니다.

PS. 아래는 수학 공부 방법에 대한 전자책 "서울대 박사가 알려주는 수학의 비밀"과 공부 방법에 대한 강의인 "수학의 구조 특강"에 대한 후기입니다. (후기가 많지만 극히 일부만 추렸습니다.)