[기하 칼럼] 이차곡선 계산량 토막내기 1
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예, 여러분 반갑습니다.
매우 건전하고 지적이며 교육적인 문제만을 추구하는 이성적인 문제싸개, 갑종배당이자소득세입니다.
이번에는 이차곡선(사실아님)에 관한 칼럼같은것을 들고 찾아왔습니다.
들어가기에 앞서, 우선 위 두 문항을 풀어봅시다. 절대 제가 계산하기 싫어서 여러분 시키는 게 아닙니다
그리고 26번 답은 정수가 아닙니다
답은 이 문장 사이를
4루트2, 4
스크롤하면 보입니다.
처음 푸실 때 계산량이 꽤 있었다면, 지극히 정상이니 뭔가 이상해하지 않으셔도 됩니다.
실제로 현 기조를 어느 정도 반영한 24 사관학교 시험에서 계산 폭탄 문제를 던졌으니, 대비하는 것이 상책인 듯 합니다.
허나, 하나의 개념을 더해서 생각하면, 계산량을 압도적으로 단축시킬 수 있습니다.
위 두 문제를 공간도형 문제로 보는 겁니다.
우선, 타원이 식으로 어떻게 정의되었는지 살펴봅시다.
타원의 기본꼴은
입니다. 제곱항끼리 묶어주면,
가 되죠. 이 상태로 의미를 해석해보면,
원을 x : y = a : b 의 비율로 찌그러뜨린 도형이 됩니다.
즉, 원을 정사영한 도형이라고 봐도 되는 것이죠.
바로 적용하러 들어가봅시다.
26번을 그림으로 그리면
이렇게 됩니다. 이제 저 도형을 원을 정사영한 도형이라고 생각해 봅시다. 1 : 루트2 의 비율로 찌그러져 있으므로,
원래 그림은 
기울기가 서로 수직이니, 정사각형이네요. 원 평면과 타원 평면이 이루는 각 세타에 대해 cos(세타)=1/(루트2) 이므로,
답은 (2루트2)*(2루트2)*cos(ㅠ/4)=4루트2입니다.
이번엔 나름 심화 과정입니다.
27번을 그림으로 그리면
이런 느낌이겠네요. 저기 파란색 커서가 매우 불편하지만 무시해줍시다
타원이 원과 접하므로, 저걸 공간적으로 바라보면
구와 그 구를 자른 단면을 특정 각도에서 바라본 그림이 됩니다.
이렇게 말이죠. (진하게 칠해진 부분이 바라보게 되는 단면)
이때, 장축 : 단축 = 3 : 1 이므로, 타원을 곧게 펴서 나온 단면과 바라보는 방향의 단면이 이루는 각 세타에 대해
cos(세타)=1/3이 되겠네요. 이제 타원의 중심이 (0, 8/3)임을 이용해줍시다.
직각삼각형의 닮음비를 이용하면 8 : 1 = 8/3 : 1/3 이므로, 답은 4입니다.
우리가 등차수열을 보기 쉽게 직선으로, 지수/로그함수를 계산하기 쉽게 등비수열로 바꿔 생각하는 것처럼,
알고 있는 개념들을 엮다 보면 새로운 길이 나오더라고요.
여러분도 이를 최대한 활용해 계산을 타파하셨으면 좋겠습니다. 감사합니다.
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너무 계산도 많고 집중력이 빨린다 ㅠㅠ
반응이 좋으면..
2가 나올지도..
이건 혁신이다....
진짜 개쩌는데요 감동스러워서 울컥했어요
선생님 덕에 새로운 관점 얻어갑니다..!
와 ㅈ된다
근데 이건 못써먹겠다 ㅋㅋ
내 대가리로는 무리인듯
사실
애초에 써먹을 곳 자체가 많진않습니다..
그냥 저럴수도 있구나 알아두면 좋을 뿐