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솔로깡 [576988] · 쪽지

2015-08-19 01:13:48
조회수 7,261

[수리논술] Josephus 점화식

게시글 주소: https://9.orbi.kr/0006407291



오늘 과외하면서 했던 내용. Josephus 점화식.

[Josephus와 그의 병사들은 로마 지배에 봉기하여 싸웠지만 위기에 처하자 동굴로 숨어들어 명예롭게 자결하기로 의견을 모았다. Josephus와 그의 동료 41명은 원으로 둘러서서 아무도 남은 사람이 없을 때 까지 세 번째 사람마다 자결하기로 했다. Josephus는 막상 죽음에 직면하자 생존본능(?)이 발동하여 본 문제의 해인 마지막 안전한 자리를 찾아내었고, 결국 살아남아 로마 병사들에게 항복하였다. 그 후 그는 로마에 귀순하여 '유대 전쟁사', '유대 고대사'등의 역사서를 저술하였다.]

칼럼 이름에서 볼 수 있듯 당연하지만, 이는 간단한 사고의 전환을 통해 점화식을 유도하면 된다.

n명을 원형으로 세워두고, 3번째 사람마다 자결(.....나중에 어린이에게 가르칠때는 3번째 사람마다 사탕을 먹는다고 하는게 낫겠다. 가끔 현실은 매우 잔인하다.) 한다고 가정하자. 즉, 1번째 2번째 사람은 살고, 3의 배수번째 사람은 모두 자결(...)하는 것이다. 대략 이런 형태로 지속될 것이다.

우선 n+1명이 원형으로 서있고, 3번째 사람이 자결한 그 상태에서 시행을 잠시만 멈춰보자. 전체 인원은 n명이라고 할 수 있다. 그리고 4번째 사람부터 시행이 새로 시작된다. 이 때 4번째 사람을 다시 '첫 번째 사람'으로 생각하면 결국 n명이 원형으로 서있고, 다시 3번째 사람이 자결하는 구도로 볼 수 있다.

요컨대, n명을 원형으로 세워두고 3번째마다 자결할 때 가장 마지막에 남는 사람의 자리수 번호를 f(n)이라고 할 때, f(n)과 f(n+1)사이의 관계를 구할 수 있다는 것이다. 다음과 같은 3가지로 구분된다.

1) p=f(n)=1~n-2 일 경우, 4번째 사람이 1번째 사람으로 바뀐 구도이므로, f(n+1)일 때에는 '현재 번호보다 3번 더 큰 번호'였던 것이다. 즉, f(n+1)=f(n)+3 의 관계식이 성립한다.

2) p=f(n)=n-1 일 경우, f(n+1)=1을 의미한다. (직접 n+1일때와, 한 명이 자결하고 n명이 되었을 때를 그려보라.)

3) p=f(n)=n 일 경우, f(n+1)=2를 의미한다.

일단, 초항을 살펴보자. 두 명이 있다고 할 때, 1 ㅡ> 2 ㅡ> 1의 3번 시행으로 1번 사람이 자결한다. 고로, 2번 사람이 남는다. 따라서, f(2"명")=2"번째 사람 남음" (이)라고 할 수 있다.

f(2)=2

2)에 의해 f(3)=2
3)에 의해 f(4)=1
1)에 의해 f(5)=4
3)에 의해 f(6)=1

계속해서 나가다보면, f(41)=31이 나오므로, Josephus는 31번째 자리에 있었기에 자결하지 않고 살아남을 수 있었다.

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솔로깡 [576988]

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