삼차함수 정적분 공식 (feat. 24수능 12번 계산줄이기)

아시는 분은 대부분 아시는 내용이겠지만 6평때 엄청 핫했던 걸로 기억하는데

이번 수능에서는 12번 계산이 엄청 더럽다라는 이야기만 많고 

적용해서 풀이해주신분이 안보여서(계실텐데 제가 못찾았겠지만요) 글 하나 작성합니다.

삼차함수 f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)  에 대해서 (a,b,c가 모두 다른 실수일 필요없고,  a,b,c의 대소관계에 무관하게)

a에서 b까지 f(x)의 정적분값을 "비교적 쉽게" 계산할 수 있는 정적분공식이 있습니다.

이는 삼차함수의 점대칭성을 이용하는 방법이고

위의 삼차함수꼴을 점 ((a+b)/2,0)에 대해 점대칭인 삼차함수 와 이차함수의 합으로 변형하는 게 주요 원리입니다.

(수식이 가운데정렬이 되는데 수정하는 방법을 몰라 그대로 쓰겠습니다.)

이렇게 식을 변형할 수 있는데요.

이 중 왼쪽의 정적분의 피적분함수인 삼차함수는 점( (a+b)/2 ,0) 에 대해 점대칭인 함수이고 적분구간이

대칭구간이므로 정적분값은 0입니다.

따라서 f(x)의 정적분값은 오른쪽의 이차함수의 정적분 값과 같고

이는 잘 알려진 이차함수의 넓이공식을 통해 구해낼 수 있습니다.

사실 정적분 값이기에 부호도 유의미하지만, 넓이의 부호를 잘 알수 있는 경우라면

절댓값만 기억하셔도 꽤 유용하겠죠.

직관적으로 공식을 기억하는 방법을 설명드리자면

(정적분구간의 윗끝과 아랫끝의 평균과, 정적분구간이 아닌 x절편의 차) * 이차함수 넓이공식 입니다.

또한 여러분이 잘 알고 계시는 한점이 접점일때의 공식도 같은 방법으로 유도가 가능합니다.

f(x)=(x-a)(x-b)^2 = (x-a)(x-b)(x-b) 이므로

a부터 b까지 정적분공식은 a,b의 평균값에서 나머지근 b를 빼면 (a-b)/2 가 되고 

여기에 이차함수의 정적분공식 - (b-a)^3/6 을 곱해주면

(b-a)^4/12 가 완성됩니다.

간단하게 연습해보겠습니다.

1) f(x)=(x-1)(x-3)(x-9) 일때 1부터 3까지 f(x)의 정적분값

머릿속으로 간단하게 개형을 그려봅니다. 

1부터3까지 구간은 f(x)가 x축 위로 올라간 부분이겠죠. 그럼 결과값이 양수일테니 부호는 신경쓰지말고

절댓값만으로 생각해보겠습니다.

1과 3의 평균 2와 나머지근 9와의 차이 7

이차함수 넓이공식 2^3/6= 4/3 의곱   28/3

2) f(x)=(x-1)(x-3)(x-9) 일때 1부터 9까지 f(x)의 정적분값

위에서 그린 개형을 생각해보면 근의 간격 덕분에 (함수값이 음수인 간격이 더 넓으니) 

정적분값이 음수겠네요.

1과 9의 평균 5 나머지근3과의 차이 2

이차함수 넓이공식 8^3/6=256/3     이므로 정적분값은 -512/3

실전문제에 적용해봅시다.

다음 문제는 6월모의고사 10번 문항입니다.

문제에서 제시된  (A의 넓이)-(B의 넓이)라는 조건이

0부터 3까지 f(x)의 정적분값을 의미합니다.

0과2의 간격이 2와3의 간격보다 넓으니 정적분값은 양수일테고요.

0과 3의 평균인 3/2 와 나머지근 2와의 간격 1/2 에다가

이차함수 넓이공식 27/6 그리고 삼차항계수 k를 곱해주면 3이나온다.

이제 k의 값을 구하는 건 일차방정식..

진짜 본론으로 들어가서

올해 수능 12번 문제이고 당일날 풀이를 캡쳐한 것입니다.

(https://orbi.kr/00065167234 여기에 전문항(기하제외) 손풀이가 있습니다.)

넓이가 최대이려면 기울기가 -1인 접선의 접점중 x좌표가 0과 6사이에 있는 점의 x좌표가 t인것의 해석은 당연하고

t=3을 찾는 과정은 생략하겠습니다.(실제 넓이를 구하는 과정의 숏컷이 본 내용인지라..)

(저는 간격곱을 이용했습니다. 궁금하시면 댓글 달아주세요)

구하는 부분의 넓이를 다음과 같이 해석할 수 있습니다.

원점과 (3,6)을 지나는 직선 y=2x 가 f(x)와 만나는 점 중 원점과 (3,6)이 아닌 점의 x좌표는 12입니다.

(f(x)=0의 세 근의 합이 15 이기 때문에 0+3+12=15)

따라서 (y=f(x)와 y=2x 가 구간 [0,3]에서 둘러싸인 넓이) + ((0,0), (3,6), (9,0) 을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이)

가 구하는 값이 되겠습니다.

f(x)-2x=1/9 * x(x-3)(x-12) 이므로 삼차함수 정적분 공식을 사용해보면

(y=f(x)와 y=2x 가 구간 [0,3]에서 둘러싸인 넓이) = 1/9 * 12/2 * (27/6) = 21/4

((0,0), (3,6), (9,0) 을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이)= 1/2 * 9*6=27

이므로 답은 129/4 임을 알 수 있습니다.

위의 설명이 부족하실까봐 부연설명 그림하나 첨부하며 글을 마치겠습니다.