[수학칼럼] 부정적분에서의 극값

안녕하세요 저능부엉이입니다

오늘은 부정적분 파트에 대한 칼럼으로 찾아왔습니다

오늘 다뤄볼 주제는 부정적분에서의 극값입니다

부정적분에서 극값이라는 워딩이 나온다면

여러분이 해야할 행위는 99.99% 미분입니다

그럴때 우리는 다음과 같이 행동해야 합니다

1. 미분하기 (미분할 수 없다면 미분할 수 있게 만들자)

2. 극소,극대,극값은 도함수의 부호변화 유심히 관찰

예시 문항을 통해 설명하자면

230620 입니다

먼저 극값에 관한 워딩이 나온다면 공통영역에서는

필연적으로 미분을 할 수 밖에 없다는 것을 명심하세요

하지만 미적 선택자가 아니면 이대로 미분하기가

어려워 보입니다. 그렇다면 미분가능하게 만듭시다

미분이 이렇게 됐습니다

그렇면"g'(x) 의 부호가 1과 4에서 음에서 양으로 바뀐다"

이사실을 사용해야 겠습니다(극솟값이기 때문에)

|f(x+1)|-|f(x)|라는 함수를 그리기는 힘드니

|f(x)|에서 x좌표가 1차이나며 함수값이 같아지는 순간을

생각해봅시다

근데 지점이 총 3군대 나오는군요

하지만 우리에게 중요한것은 극솟값입니다

부호가 -에서 +으로 가는 순간이죠

따라서 |f(x+1)|가 |f(x)|보다 커지는 순간입니다

그렇기에 그림과 같이 x=1과 x=4인점을 찾을 수 있습니다

이후 대칭축이 3이고 f(1)=-f(2)인것을 이용해

계산을 끝내면 바로 답이 나옵니다

231112입니다

먼저 x=2에서 최솟값 0을 지닙답니다

따라서 2에서 극솟값이겠고 미분할 수 밖에 없습니다

우리는 그렇기에 두 가지 식을 얻을 수 있습니다

먼저 1번을 사용해 문제에서 주어진대로 그림을 그리면

이런식으로 나옵니다 

(극솟값이기에 부호변화가 2에서 음-양으로 바뀌는게

 포인트입니다)

이후 2번식을 사용하면

이런식으로 마무리되고 1/2에서 4까지 적분이기에

간단하게 정답 -1/2가 나옵니다

220620입니다

극값이라는 워딩이 나왔습니다

일단 미분해봅시다

다음과 같이 미분되었습니다

우리는 g'(x)의 부호변화가 단 한번 일어나도록

a값을 만들어야 합니다

일단 f(t)^4은 항상 0이상이기에 2번함수는

오직 a에서만 부호변화가 일어납니다

따라서 적분한 함수와 앞의 1번함수가 공통된 근을 가져서

그 근에서 x축과 접하도록 만들어야 할 것입니다

2번함수가 근을 갖는 지점은 x=a에서만

따라서 가능한 a값은 3,5 뿐입니다

오늘 칼럼의 핵심을 요약하자면

부정적분에서 극값내용이 나올경우 무조건 미분

극값은 도함수의 부호변화가 핵심

이 되겠습니다

사실 어느정도 수학을 하는 사람에게는 매우 쉬운 내용이기도 그럼에도 의외로 극값에서 도함수의 부호변화를 바로 연결 짓지 못하는 사람이 존재하다고 생각해서

행동강령적인 느낌으로 칼럼을 적어 봤습니다

들어주셔서 감사하고 좋아요는 제게 큰힘이 됩니다

다음에도 좋은 칼럼으로 돌아오겠습니다

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