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원숭이나무에올라가 [1365296] · MS 2024 (수정됨) · 쪽지

2025-02-01 21:37:29
조회수 1,179

[기하] 241030 해설

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사면체 PQRC에 대해 직각이등변 삼각형 QPC와 이등변 삼각형 PQR 의 수직이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점을 M이라고 하자.


QPC는 세 점이 모두 구를 지나는 직각 삼각형이므로 구의 중심을 지나는지 의심해보자. QRC 삼각형은 RC=1/2, PC=1 cos RCP = 1/4이므로 PR=1이다. MR=1/√2 로 M은 구의 중심인걸 알 수 있다.


구 위의 점과 직선 AB의 거리의 최솟값은 (구의 중심 M - 직선 AB의 직선거리) - (반지름) 이다.

점 M에서 직선 AB에 내린 수선의 발을 H라고 하자. 점 S는 선분 MH 위에 있다. 


점 A에서 평면BCD에 내린 수선의 발을 L이라고 하면 점L은 정사각형의 중심이고, 점 M에서 평면 ABL에 내린 수선의 발도 점 L이다. 선분 MH와 선분 ML의 삼수선 정리를 사용하면 선분 LH와 직선 AB는 수직임을 알 수 있으므로 삼각형 ABL 내에서 √14 x √2 = 4 x HL로 HL= √7/2, 피타고라스를 사용해 MH=3/2 임을 알 수 있다.


삼각형 ABS의 넓이는 1/2 x 4 x ( 3/2-√2/2 ) = 3-√2가 된다


이제 평면 ABS와 평면 BCD가 이루는 코사인 값을 구해보자.

두 평면의 교선 BM위에 점 A에서 수선의 발 N을 내렸을 때 선분 AN과 선분 AL의 삼수선 정리를 통해 선분 LN은 선분 BM과 수직이고, 삼각형 BLM 내에서 구한 선분 LN = √2/√5 을 통해 cosANL = 1/6 임을 알 수 있다.


구해야하는 정사영의 넓이는 (3-√2)x1/6 = 1/2-√2/6 이므로 p = 1/2, q= -1/6 에 60을 곱하면 30-10=20으로 정답은 20임을 알 수 있다.


Team 기하 화이팅

rare-김세정 rare-상현달

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