[박수칠] 분산을 (편차)²의 평균으로 계산하는 이유
게시글 주소: https://9.orbi.kr/0008124321
오늘은 어떤 주제로 글을 쓸까 고민하다가 예전에 봤던
조관 선생님의 포스팅 ( http://orbi.kr/0008006413 )
과 관련된 내용을 써보기로 했습니다.
평균, 분산, 표준편차를 열심히 공부한 학생이라면
한 번 쯤은 해봤을 고민이죠.
——————————————————————
왜 분산은 (편차)²의 평균으로 정의될까?
(편차의 절댓값)의 평균으로 정의하면 안되나?
——————————————————————
(변량)-(평균)으로 정의되는 편차는 변량이 평균보다 큰지, 작은지
그리고 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 지표입니다.
그러다 보니 산포도 계산에 편차를 쓰는 것은 지극히 당연한 일이죠.
하지만 편차의 합은 0이기 때문에 편차의 평균 또한 0입니다.
이 때문에 편차를 제곱해서 0 이상의 값으로 바꾼 다음
평균을 계산하게 되고, 이를 분산으로 정의합니다.
여기서 편차의 제곱 대신,
편차의 절댓값을 쓰면 안될까요?
이를 알아보기 위해
세 변량 a, b, c (단, a < b < c)의 대푯값을 x로 두고
(편차)²의 평균과 (편차의 절댓값)의 평균을 조사해봅시다.
(1) (편차)²의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 x에 대한 이차식임에 주목해서
완전제곱꼴로 변형하면 다음과 같습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 
일 때
즉, 대푯값 x가 a, b, c의 평균일 때 최소가 됩니다.
(2) (편차의 절댓값)의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 일차식의 절댓값의 합임에 주목해서
분자로 만든 함수의 그래프를 그리면 다음과 같습니다.
따라서 (편차의 절댓값)의 평균은 x=b일 때,
즉 대푯값 x가 a, b, c의 중앙값일 때 최소가 됩니다.
대푯값 x가 평균일 때 (편차)²의 평균이 최소,
대푯값 x가 중앙값일 때 (편차의 절댓값)의 평균이 최소인 것은
n개 의 변량 
에 대해서도 마찬가지입니다.
(3) (편차)²의 평균
따라서 (편차)²의 평균은 
일 때,
즉 대푯값 x가 의 평균일 때 최소가 됩니다.
(4) (편차의 절댓값)의 평균
i) n이 홀수일 때
일 때 최소
ii) n이 짝수일 때
x가 구간 
에 속할 때 최소
i), ii)로부터
(편차의 절댓값)의 평균은 또는 
일 때
즉, 대푯값 x가 의 중앙값일 때 최소가 된다고 할 수 있습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 대푯값이 평균일 때 최소이므로
평균 
에 대한 분산을
으로 정의하는 것이 자연스럽다는 것을 알 수 있습니다.
또한 변량 의 중앙값이 
일 때
(편차의 절댓값)의 평균
를 '평균편차'라고 하며, 임금 근로자 연봉 분포처럼
변량의 분포가 한쪽으로 치우친 경우에 산포도로 많이 사용합니다.
그리고 대푯값/산포도로 평균/분산(또는 표준편차)을 사용하면
중앙값/평균편차의 조합보다 공식의 변형이 자유롭다는 장점이 있습니다.
덕분에 분산을 { (변량)²의 평균 } - (평균)²으로 계산할 수도 있고,
미분/적분이 상대적으로 쉽죠.
추가적인 장점이 또 있는데
그건 제가 이해를 못해서... 
[참고 자료] 기초통계학의 숨은 원리 이해하기 (김권현 저)
[알림] 박수칠 수학 미적분1-적분법 단원 부교재가 업로드 되었습니다.
본교재 문제에 수능/모평/학평 기출 54문제가 추가되었습니다.
다음에 작업할 단원은 미적분2-적분법입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
ㅈ같구나 마킹실수라면 생전안한 마킹실수를 수능때하는구나 정법표점안락사
-
닉 변 완 료. 0
네.
-
나 흐콰했어 사회가 날 이러케 맏들었어
-
가형 고급대수 고급미적분 고급기하 확률과통계 나형 미적분 기하 확률과통계
-
가채점 그냥 입력 안 하는 사람도 많을까요?
-
꼬리질문 ㅈㄴ당황스럽네;;;
-
궁금함뇨
-
일단 지2는 못버림. 8과탐 중에서 제일 잘맞고 점수화도 잘됨 물2는 고인물...
-
한의대는어디도 불가겠져?ㅠㅠ
-
내년엔 컷 정상화 제발...
-
과탐 왜 함?
-
연논 학원 다녀야할지 말지 고민중...
-
-
부모님 설득도 해야하고 고민도 좀 있어서 대답 한번씩만 해주면...
-
생윤과 화학... 흠...
-
심지어 둘다 외야수임
-
표본이 멸절될거같아
-
사탐은 나만의 꿀이였는데 억울함뇨
-
인구 감소에 따른 수능 응시자수 감소를 막기위해 N수생을 늘리는게 평가원의 의도였고...
-
연세대 수리논술 Final (대응이 늦어지고 있습니다.) 0
고려대학교 수학과 고려대, 서강대, 시립대 등 수학과 수리논술 합격 (기타 :...
-
입시판이 난장판됐뇨 10
그냥 미기확 가나형 시절대로 하지 대체 이게 뭐뇨
-
오노추란 말은 0
좀...
-
피곤함뇨 3
살려주뇨
-
88에서 갈리는 게 아니라 89에서 갈릴듯
-
교육과정 마지막 수능+개편 내용이 엄청나니까 N수생 덜 양산되게 담백하게 내고...
-
물1 물2는 2
가산점 10점씩 더 줘야한다고 생각하면 갳우 ㅋㅋㅋ 이건아니지 시2발
-
48점 백분위 92 47점 백분위 88 예상이라는데 사실이면 물화는 ㄹㅇ 안락사네
-
오노추 0
힙찔이가되
-
화학1 서비스종료
-
아 걍 2
인하의 논술 응시 포기할까 ........ 등급컷이랑 백분위 예측들때매 아예 집중도...
-
그게 나야 바 둠바 두비두밥~ ^^
-
다 구해서 더하는 문제가 화나는게 하나라도 빼먹으면 조지는 정답 나옴 문제는...
-
선택과목 ㅈ 까고 미기확 상관없이 같은 점수=같은 백분위 같은 표점을 부여했으면...
-
-
와… 이게 서양인가. 난 당연히 나보다 위로 5살은 차이날줄
-
언매 91 2
공통 -7 언매 -2 1컷 희망 회로 돌려봐도되나요?
-
28수능은 국수 1컷 64 탐구 1컷 30으로 맞추죠? 5
그냥 말이 안될 수준으로 시원하게 불 질러보면 좋겠음
-
나도 반수생각 있기는 한데 반수 <<< 이건 진짜 개선해야댐 누군가에게 간절한 대학...
-
한서삼 최초합, 광운대 가천대 추합선이던데 이게 제일 정확한건가요?
-
컷이 진짜면 분리변표보다 통합변표가 과탐이 더 잘 나올 수 있음 여태까지 과탐...
-
면접관 질문 들어올때 꼬리질문에 어버버하다가 넘어갈게요 당한게 많음 면접관 기세에...
-
고속 꺼 씀? 아니면 메가 꺼 넣음?
-
그딴 난이도가 1컷이 43-44는 에반데
-
순서대로 23 24 25수능.. +)라인도 좀 잡아주시면 감사하겠습니다
-
사탐런 질문 0
1과목은 너무 고인거같아서 도망가려는데 사탐런 해야할까요 투과목럼 해야할까요..
-
물리 1컷 48이라는 소문이 돌던데…
-
뭔가 1컷 46=47 냄새남 48이 되기엔 2점에서 그런 역할 하는 애가 없었고...
-
쉽지않네
-
[칼럼] 글 하나로 쉽게 정리하는 군 이동과, 다군에서의 전략 2
피오르에서 재능기부 프로젝트를 운영하여 어려운 상황이신 학생들에게 무료 컨설팅을...
-
현장에서 안봤으면 어쩌구 이게 아니고 모든 지표가 물이라고 말하고 있음 반박시 수능...
ㅋㅋㅋㅋ 오르비스티커 너무 귀여워여
그러니까요... 진짜 예쁘게 잘나왔어요.
그 외에도 확률변수에 대한 적률 적률생성함수 중심적률등과도 관련이 있지 않을까 생각됩니다.
물량공급님 외계어도 쓸 줄 아셨군요.
좀 배워야겠다...
적률생성함수라는 마법의 도구가 있더라구요
찾아보니 학부 확통 과목에서 배웠던 함수네요.
지금 보니 뭔 얘긴지 하나도 모르겠음 ㅎㅎ
최소점이 평균값이기 때문에 제곱을 쓴다는 건 결과론적인 해석이 아닐까요?
제곱을 써야만 하는 수학적 필연성이랄지, 이런게 있으면 좋을 것 같은데요
예를 들어, 정규분포 함수의 식에는 제곱을 이용한 표준편차가 들어가죠. 만약 표준편차를 다르게 정의했을 때 같은 식을 유도할 수 있는지, 그렇지 않다면 왜 그럴 수밖에 없는지 같은 것들 말입니다
본문의 내용은 결과론적인 해석이라기 보다
{ (변량-평균)²의 합 } / (변량 개수)를 분산으로 정의한 이유의
일부라 할 수 있습니다.
근본적인 이유로 들어가자면
{ (변량-대푯값)²의 합 } / (변량 개수)를 최소로 하는 대푯값이 평균이고,
이 평균을 모집단과 표본의 대푯값으로 쓰면 모평균의 가장 합리적인 추정치로
표본평균이 똭~ 나타납니다.
이 부분을 설명하려면 '최대우도추정법'이라는 걸 알아야 하는데
여기서 굳이 설명할 필요도 없고, 저도 잘 모르거든요 ^^;
그래서 '고등학교 수준에서 이 정도 설명이면 충분하겠다'
싶은 선에서 끝냈습니다.
이런 것 보면 아무 호기심 없이 그랬구나...그렇구나...하고 받아들이는 제 자신이 다행스럽네요. 문과여서 여태 통계문제 풀면서 저런 증명이나 원리를 몰라서 틀린 적도 없고 개이득
몰라도 되는 건 이과도 마찬가지입니다 ^^
그냥 궁금해할 수험생들을 위해 정리한거예요~
loss funtion?
손실함수라...
6시그마 교육받으면서 배웠던 건데
갑자기 왜 나올까요? ㅎㅎ
경영쪽 아니고 경제학부 통계시간에 교수님께 배운건데..
추정량과 모수의 차이를 나타내는 함수를 loss function 이라 하지않나요,,? 이거 배우면서 글에 나온 내용도 같이 알게되고 했던 기억이 나서요~
아~ 용어만 같고, 정의가 다른가 봅니다.
제가 배웠던 것은 품질관리쪽에서 손실 비용 계산에 쓰는 함수거든요.
이유식님이 얘기하신 손실함수까지는 공부를 못해봤어요 ^^
저도 맛보기정도만 한 비루한 학부생입니다 ㅠ
댓글 달아주셔서 감사합니다.
헐 신기하네요 이거 궁금했었는데 감사해요ㅋㅋㅋ 오 신기하다 맨날 하필 왜 제곱일까....이랬었는데
제가 기다렸던 반응이 드디어 나왔군요.
감사합니다 ㅎㅎ
절대값을 왜 안쓸까 했는데 쓰는데가 있기도 하군요
그러게나 말이에요.
저도 참고자료 보면서 처음 알았어요~
조만간 책나오면 살건데 박수칠님 글 너무 도움됩니다 모든글 지우지 말아주세요ㅠ
안지울테니 걱정마세요~ ^^