[Team PPL 칼럼 16호] 수학 문제를 ‘제대로’ 읽어본 적이 있는가?

안녕하세요!  Team PPL [Premium Private Lesson] 수학 소속 수하기 팀 입니다 :)

저희 Team PPL(이하 PPL)에서는 일주일 마다 과목별 하나씩, 총 2개의 칼럼을 제작하여 업로드하고 있습니다. 

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수학 문제를 ‘제대로’ 읽어본 적이 있는가?

- 모르는 문제에는 무엇이 숨어있는가?

당신이 지금 공부하고 있는 교재를 꺼내어 별표를 친 문제들을 찾아 보자. 어느 정도 풀이를 끄적이다가 막혀 포기해 버린 문제, 때로는 풀이를 쓸 엄두조차 내지 못하고 쫒겨나듯이 도망친 문제들이 보일 것이다. 단순히 “어떻게 풀지 모르겠다.“ 라면서 해설지를 펼치기 전에, 다시 한번 문제를 곱씹어 읽어보는 시간을 가져본다면 어떤 내용들을 얻어갈 수 있을까? 

이번 칼럼에서는 당신이 문제를 왜 풀지 못했는지, 어떤 구간에서 벽을 느꼈는지 분석하는데 도움이 될 만한 내용을 소개하려 한다.

- 수학문제의 문법은 생각보다 단순하다.

유형화된 문제를 풀 때 대부분은 문제에 제시되어 있는 도형 또는 식을 보고 풀이를 시작하는 경우가 많다. 그러나 학력평가 또는 모의고사 기출문제를 풀게 되면 기존에는 풀어본 적이 없던 새로운 표현들이 쏟아져내리기 시작한다. 많은 사람들이 이쪽 문제를 처음 풀게 되면서 부딪히는 벽이 이에 해당할 것이다. 

그럼에도 불구하고, 위에서 언급한 ‘새로운 표현’ 역시 수학 문제의 기본적인 구조 내에서 서술되어 있다. 과연 수학 문제가 가지고 있는 공통적인 문법이 무엇인지, 기출문제에 실제로 어떻게 적용되어 있는지 알아보자.

- 상황제시, 조건, 구할 값

문제를 읽으면서 위의 세 파트로 나누어 읽고 이해하는 연습을 하면 좋다. 각 부분은 문제의 풀이에서 다음과 같은 역할을 한다.

1. 상황제시

문제 풀이에서 사용되는 모든 성분들은 초반부에 모두 언급된다. 사용되는 성분이 만들어지는 과정 또한 순차적으로 서술된다. 이때, 후술할 조건과 같이 문제를 풀 때 간접적인 힌트로 사용되기도 한다.

2. 조건

1에서 언급한 성분들 이외에 추가적인 힌트가 필요할 경우, 문제에서 구하고자 하는 값을 언급하기 전에 제시해 준다. 문제를 계산하기 위해 세우는 식, 계산과정을 정하는 데 있어서 3과 함께 가장 중요한 부분이 된다.

3. 구할 값

구해야 하는 것이 제시됨으로써 계산의 목표가 최종적으로 확인되는 과정이다. 계산의 방향 역시 구해야 하는 값의 형태를 통해 간접적으로 유추할 수 있기 때문에 주의깊게 읽어야 한다.

- 문제를 읽는 것만으로 풀이의 방향을 결정할 수 있다.

최종적으로 기출문제를 위의 순서대로 읽어보도록 하자. 상황제시, 조건, 구할 값을 순서대로 문제에 각각 파란색, 노란색, 빨간색으로 나타내었다.

[2021년 3월 고1 학력평가 16번]

1. 상황제시

삼각형 ABC에서 각 A와 함께 외심을 언급하는 것으로 시작하는 것을 통해 외심의 성질 중 각과 관련된 개념을 준비할 수 있다. 또, 점 D가 만들어지는 과정을 통해 2에서 언급할 조건을 삼각형 BCD와 연결지어 생각할 수 있도록 해준다.

2. 조건

BD=BC가 1을 읽으면서 삼각형 BCD가 이등변삼각형임을 언급해주는 힌트로 사용할 수 있다면, 힌트를 각BCD=각BDC로 변형해 사용할 수 있을 것이다.

3. 구할 값

각 OCD의 크기를 구하라는 것을 통해 문제에서 계산할 성분들을 각으로 한정지어 생각할 수 있고, 문제에서 제시된 각들을 각OCD=x로 두어 나타낸다면 2에서의 조건을 x에 대한 방정식을 푸는 것으로 정리할 수 있을 것이다.

[2021년 3월 고2 학력평가 19번]

1. 상황제시

 ‘자연수 n에 대한 조건‘의 형태가 ‘어떤‘이 포함된 x에 대한 명제임을 확인하고, 조건의 참, 거짓의 여부가 n에 대하여 결정됨을 알 수 있다. 또, n이 자연수임을 풀이과정에서 간접조건으로 활용할 생각을 할 수 있겠다.

2. 조건

’어떤‘이 포함된 명제가 참이 되어야 하므로 조건을 만족시키는 x의 값이 존재함을 보이면 되는 것으로 해석할 수 있다. 따라서 이차함수의 최대 최소를 계산하는 과정이 포함됨을 알 수 있다.

3. 구할 값

최종적으로 문제풀이에서 이차함수의 최댓값이 0 이상이 되는지의 여부는 n에 의하여 결정되므로 이를 n에 대한 부등식으로 해석해야 함이 n의 ’최솟값‘을 묻는 것을 통해 드러남을 문제를 읽는 과정에서 파악할 수 있을 것이다.

[2021년 수능 나형 20번]

1. 상황 제시

a의 값이 1보다 크다고 제시된 것이 함수 f(x)의 그래프를 그리는 데에 영향을 준다는 것을 2번과 연계하여 해석할 수 있을 것이다. 또 함수 g(x)의 변화가 f(x)의 적분값에 의해 결정되는 것을 통해 a의 값이 문제의 조건을 해석하는데 중요한 요소로 작용할 것을 예상할 수 있다. 

2. 조건

조건이 극값의 존재 여부를 확인하는 것으로 제시되어있기 때문에 방정식 g’(x)=0의 근과 그 좌우에서의 부호 변화를 조사하는 과정이 문제풀이의 큰 방향인 것으로 해석할 수 있다. 

3. 구할 값

구해야 하는 값이 2의 조건을 만족시키는 a의 ‘최댓값’을 구하는 것임을 통해 조건을 만족시키는 a의 값이 유일하게 결정되지 않는다는 것을 확인할 수 있다. 따라서 방정식 g’(x)=0의 근이 a의 값에 따라서 어떻게 변화하는지를 g(x)를 미분한 후에 조사해야 할 것으로 예측하면 후에 다시 고민할 방향을 정할 수 있을 것이다.

 - 눈풀이는 중요하다.

단순히 숫자의 대입을 통한 계산에만 집중하지 않고, 지금처럼 먼저 숲을 보는 연습을 꾸준히 할 것을 추천한다. 타격지점이 정밀해 질수록 계산과정이 줄어듦을 몸소 체감할 수 있을 것이다. 문제를 풀면서 접근법이 떠오르지 않는다면, 문제를 읽고 이해하는 과정속에서 본인이 미처 파악하지 못한 개념, 또는 사고과정이 있는지 찾아보도록 하자. 위의 세 문제의 자세한 풀이과정은 첨부파일을 통해 확인할 수 있다. 

칼럼 제작 | Team PPL 수학 연구소

제작 일자 | 2022.02.26

Team PPL Insatagram | @ppl_premium

*문의 : 오르비 혹은 인스타그램 DM